Stawiarz do Jagiellonii dołączył w połowie 2019 roku. Podpisał z białostockim klubem trzyletni kontrakt. Swoją piłkarską przygodę rozpoczynał w 2011 roku w Gwardii Warszawa. Kilka sezonów rozegrał w juniorskich drużynach Legii Warszawa oraz w Escola Varsovia Warszawa. Jak mówi w Białymstoku żyje się dużo spokojniej, aniżeli w rodzimej Warszawie. Jednak baza treningowa i jakość sportowa białostockiego klubu to wynagradzają.
Aleksander Stawiarz urodził się 1 listopada 2002 roku. W pierwszej drużynie Jagiellonii Białystok gra w koszulce z numerem 34. I choć pierwszy mecz w ekstraklasie nie należy do udanych z powodu wyniku drużyny i złamanego palca, to zapewne przyszłe mecze będą miały więcej pozytywów.
Młodzieżowiec bardzo pozytywnie wypadł podczas zgrupowania w tureckim Belek. To właśnie dlatego trener Iwajło Petev zdecydował się dać mu szanse podczas meczu z krakowską Wisłą.