Bartosz Kwiecień pochodzi ze Starachowic i jest wychowankiem miejscowej Juventy, w barwach której stawiał pierwsze kroki w seniorskiej piłce na szczeblu III ligi. Jako niespełna 19-letni zawodnik, w styczniu 2013 roku Kwiecień przeniósł się do ekstraklasowej Korony Kielce i jeszcze w sezonie 2012/13 zdołał zadebiutować w najwyższej klasie rozgrywkowej, gdzie wystąpił łącznie w siedmiu meczach. Następnie młody piłkarz udał się na półroczne wypożyczenie do pierwszoligowego wówczas Górnika Łęczna.
Po powrocie do Kielc, sezon 2014/15 był dla Kwietnia niezwykle trudny, ponieważ zerwane więzadła krzyżowe uniemożliwiły mu powrót na boisko przez siedem miesięcy. Po kolejnych trudnych dla siebie rozgrywkach 2015/16, rosły defensor (186 cm wzrostu) zdecydował się na wypożyczenie do pierwszoligowego Chrobrego Głogów. Tam Kwiecień przez pół roku współpracował z obecnym trenerem Jagiellonii, Ireneuszem Mamrotem.
Po przejściu testów medycznych 23-latek podpisał w czwartek (27.07) z Jagiellonią czteroletni kontrakt. Zawodnik przenosi się do Białegostoku na zasadzie transferu definitywnego, jako że Jagiellonia aktywowała klauzulę odstępnego zawartą w jego kontrakcie z Koroną Kielce.